Gå til indhold

Diophantine Approximation in Small Sets

Projektbeskrivelse

En gammel formodning i talteorien siger, at løsninger til anden- og højere-gradsligninger med heltalskoefficienter opfører sig som tal gør flest. Mere præcist forventes algebraiske tal at være normale. Et specialtilfælde af formodningen siger, at alle cifre mellem 0 og 9 i opskrivningen af kvadratroden af 2 forekommer lige ofte. Dette berømte problem er uløst. I dette projekt stiller vi i en vis forstand problemet på hovedet og spørger, hvilke typer af tal der kan skrives i ti-tals systemet (eller andre heltaltsystemer) uden at alle cifre optræder lige ofte. Speciel vægt lægges på de tal, der kan skrives uden brug af visse cifre. Mængder af tal, hvor fordelingen af cifre er atypisk, kalder vi små mængder. Tallene i små mængder søges forstået i termer af deres diofantiske egenskaber. For at forstå et reelt tal finder vi gode tilnærmelser med brøker eller mere generelt med løsninger til heltalsligninger af grad 2 og højere. Ved at studere kvaliteten af disse approksimationer kan reelle tal klassificeres. Vi ønsker at afdække, hvilke typer af tal, der kan opskrives med en atypisk fordeling af cifre. En vigtig motivation for studiet er følgende: Hvis der findes tal med atypisk fordeling af cifre, der er særligt godt eller dårligt approksimerede ved løsninger til heltalsligninger af grad 2 eller højere, så må disse gode approksimanter have en tilnærmelsesvis atypisk fordeling af cifre, hvilket kaster lys over den gamle formodning beskrevet ovenfor.

Senest opdateret 23. april 2013