The Complexity of Classification Problems Arising in Operator Algebras

Et af de vigtigste områder i moderne matematik er studiet af operator algebraer. Disse algebraer blev opfundet i 1930erne for at kunne håndtere den matematik, som er nødvendig for kvantemekanikken. Siden hen er studiet af disse algebraer blevet et selvstændigt matematisk område, som i dag anvendes mange steder inden for matematik, f. eks. inden for studiet af dynamiske systemer. Et af de vigtigste problemer inden for operator algebra er at forstå strukturen af de såkaldte von Neumann algebraer. Selvom vi i dag ved, at der er uendeligt mange von Neumann algebraer, så er det vigtigt at udvikle redskaber, der kan bestemme, hvornår to von Neumann algebraer er ens eller beskriver det samme system. Målet er at have redskaber, som klassificerer von Neumann algebraerne på en nyttig måde. Dette problem har dog vist sig at være meget vanskeligt. I de sidste 20 år er der inden for en anden gren af matematikken blevet udviklet en teori, kaldet Borel reducibilitet eller invariant kompleksitetsteori, som kan måle kompleksiteten af visse typer matematiske problemer. Projektet handler om at bruge denne teori til at bestemme kompleksiteten af klassifikationsproblemet for von Neumann algebraer. Teorien er allerede blevet brugt til at vise, at dette problem er meget, meget vanskeligt. Men ny forskning tyder nu på, at klassifikationen af von Neumann algebraer har den maksimalt mulige kompleksitet, og det er målet for dette projekt at bevise dette.